Aplikasi Fungsi Kuadrat
APLIKASI FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI
A. Keseimbangan Pasar
Cara
mencari dan menganalisis keseimbangan pasar dengan konsep persamaan kuadrat ini
pada dasarnya sama dengan pada fungsi linear.
Soal :
Jika
diketahui persamaan permintaan adalah Qd = 16 – P2 dan persamaan penawaran Qs =
-8 + 2P2, pada tingkat harga dan jumlah berapakah keseimbangan pasar terjadi?
Penyelesaian
:
Diketahui : Qd = 16 – P2 Qs = -8 + 2P2
Ditanya : Pe
….? Qe ….?
Formula keseimbangan : Qd =
Qs
16 – P2 = -8 + 2P2
2P2 + P2 =
16 + 8
3P2 =
24
P2 = 24 / 3 =
8
Pe = √8
= 2,83
Substitusi Pe = 2,83 ke salah
satu persamaan : Qd = 16
– P2
Qd = 16
- (2,83) 2
Qd =
16 - 8,01
Qd = 7,99
Jadi,
keseimbangan pasar tercipta pada harga Rp. 2,83 dan jumlah 7,99 unit barang.
B. Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap
Keseimbangan Pasar
Notes :
pajak akan menyebabkan harga keseimbangan naik dan jumlah keseimbangan menurun
sedangkan subsidi akan menyebabkan harga keseimbangan menurun dan jumlah
keseimbangan naik dibandingkan dengan harga dan jumlah keseimbangan pasar
sebelum pajak dan subsidi. Sama seperti pada keseimbangan pasar awal yang
diterapkan adalah fungsi kuadrat.
Soal :
Jika
pada kasus (A) ditambahkan pajak dan subsidi sebesar Rp.2, buatlah persamaan
keseimbangan yang baru serta tentukan berapa harga dan jumlah keseimbangan
setelah pajak dan subsidi!
Penyelesaian
:
Diketahui : Qd = 16 – P2 Qs = -8 + 2P2 t = 2 s = 2
Ditanya :
Pers. Keseimbangan pasar ….? Q′e ….? P′e ….?
tk ….?
tp ….? T …..?
Formula keseimbangan : Qd =
Qs
16 – P2 = -8 + 2P2
2P2 + P2 = 16 + 8
3P2 = 24
P2 =
24 / 3
= 8
Pe = √8 = 2,83
Substitusi
Pe = 2,83 ke salah satu persamaan :
Qd = 16
– P2
Qd = 16 - (2,83) 2
Qd = 16 - 8,01
Qe =
7,99
Persamaan
Penawaran setelah pajak : Qs
= -8 + 2P2
Qs
= -8 + 2(P – 2)2
Qs = -8 + 2(P2 – 4P + 4)
Qs
= -8 + 2P2 – 8P + 8
Q′s = 2P2
– 8P
Formula keseimbangan : Qd =
Qs
16 – P2 = 2P2 – 8P
2P2 + P2 - 8P - 16
= 0
3P2 - 8P - 16
= 0
Diperoleh
: a = 3, b = -8 dan c = -16
Dicari
dengan rumus abc : P1,2
= - b ± √ b2 – 4ac
2a
P1,2 = - (-8) ± √ (-8)2 – 4(3)(-16)
2(3)
P1,2 = 8 ± √ 64 + 192
6
P1,2 = 8 ± √ 256
6
P1 = 8 + 16 = 4
6
P2 = 8 – 16
= -1,33 (tidak terpakai)
6
Substitusi
P′e = 4 ke salah satu persamaan : Qd = 16
– P2
Qd =
16 - (4) 2
Qd = 16
- 16
Q′e =
0
Jadi,
harga keseimbangan setelah dipengaruhi pajak berubah dari Rp. 2,83 menjadi Rp.
4 dan jumlah keseimbangan berubah dari 7,99 unit menjadi 0 unit. Ini
membuktikan teori pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar yang membuat harga
keseimbangan naik sehingga mengakibatkan tingkat permintaan pasar menurun.
Persamaan
Penawaran setelah subsidi : Qs = -8 + 2P2
Qs
= -8 + 2(P + 2)2
Qs =
-8 + 2(P2 + 4P + 4)
Qs =
-8 + 2P2 + 8P + 8
Q′′s = 2P2 + 8P
Formula keseimbangan : Qd =
Qs
16 – P2
= 2P2 + 8P
2P2 + P2 + 8P – 16 = 0
3P2 + 8P - 16 = 0
Diperoleh
a = 3, b = 8 dan c = -16
Dicari
dengan rumus abc P1,2 = - b ± √ b2
– 4ac
2a
P1,2 = - 8 ± √ 82 – 4(3)(-16)
2(3)
P1,2 = -8 ± √ 64 + 192
6
P1,2 = -8 ± √ 256
6
P1 = -8 + 16 = 1,33
6
P2 = -8 – 16 = -4 (tidak terpakai)
6
Substitusi
Pe = 1,33 ke salah satu persamaan :
Qd = 16 – P2
Qd = 16
- (1,33) 2
Qd =
16 - 1,77
Q′e = 14,23
Jadi,
harga keseimbangan setelah dipengaruhi subsidi berubah dari Rp. 2,83 menjadi
Rp. 1,33 dan jumlah keseimbangan berubah dari 7,99 unit menjadi 14,33 unit. Ini
membuktikan teori pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar yang menurunkan
harga keseimbangan sehingga membuat tingkat permintaan pasar meningkat.
C. Break Event Point (BEP)
BEP
adalah suatu kondisi dimana perusahaan tidak memperoleh keuntungan maupun
mengalami kerugian (π = 0). Fungsi ini dibentuk bersama oleh fungsi biaya dan
fungsi penerimaan, sehingga kurvanya juga berupa parabola terbuka ke bawah dan
ke atas. Besarnya biaya produksi yang dikeluarkan (C= Total Cost) sama dengan
besarnya hasil penjualan (R = Total Revenue). Bentuk umum dari persamaan BEP
adalah :
R =
C → Kondisi pulang pokok/impas
Cara
mencari dan menganalisis BEP dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat ini
sama dengan pada fungsi linear.
Contoh :
Jika
diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -Q2 + 10Q
dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10. Pada
tingkat produksi berapa unit terjadi titik pulang pokok?
Penyelesaian
:
Diketahui
: R = -Q2 + 10Q dan
C = – 3Q2 + 5Q +10
Syarat
BEP : R = C
Persamaan
: -Q2 + 10Q = – 3Q2
+ 5Q +10
-Q2 +
10Q + 3Q2 - 5Q -10 = 0
2Q2 +
5Q -10 = 0
Diperoleh
a = 2, b = 5 dan c = -10
Dicari
dengan rumus abc Q1,2 = - b ± √ b2 – 4ac
2a
Q1,2
= - 5 ± √ 52 – 4(2)(-10)
2(2)
Q1,2 = -5 ± √ 25 + 80
4
Q1,2 = -5 ± √ 105
4
Q1 = -5 + 10,25 = 1,31
4
Q2 = -5 – 10,25 = -3,81 (tidak terpakai)
4
Substitusi
Pe = 1,31 ke salah satu persamaan : R
= -Q2 + 10Q
R
= -(1,31)2 + 10(1,31)
R = -1,72 + 13,1
R = 11,38 =
11,4
C = – 3(1,31)2
+ 5(1,31) +10
C = – 5,15 + 6,55
+10
C = – 3Q2
+ 5Q +10
C = 11,4 π =
R - C =
11,4 – 11,4 = 0
D. Keuntungan Maksimum dan Kerugian Minimum
Seperti
halnya BEP, fungsi ini juga dibentuk bersama oleh fungsi biaya dan fungsi
penerimaan. Untuk mendapatkan gambaran tentang besarnya keuntungan maksimum
atau kerugian minimum sama dengan cara mencari titik puncak (titik puncak).
Jika a < 0 maka keuntungan maksimum dan jika a > 0 maka kerugian minimum.
Bentuk umumnya:
R <
C →
Kondisi rugi
R >
C →
Kondisi untung
Sehingga
: π
= R -
C → π
: Keuntungan
Contoh 1
:
Jika
diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -Q2 + 10Q
dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10,
tentukanlah persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/kerugian
maksimum/minimum?
Penyelesaian
:
Diketahui
: R = -Q2 + 10Q C = – 3Q2 + 5Q +10
Ditanya :
Pers. π....?
πmax/min....?
Formula
:
π =
R - C → π
= -Q2 + 10Q – (– 3Q2 + 5Q +10)
π = -Q2 + 3Q2
+ 10Q - 5Q -10
π = 2Q2 + 5Q -10
Diperoleh
a = 2, b = 5 dan c = -10
Karena a
> 0 maka kerugian minimum
Besarnya
keuntungan (π) dapat dicari dengan menggunakan rumus :
k
= -(b2 - 4ac)
4a
Atau k = -b2 + 4ac
4a
k = -(5)2
+ 4(2)(-10)
4(2)
k = -25 - 80
8
k = -105
8
k = -13,125
Jadi,
kerugian minimum (πmin) adalah Rp. (13,125)
Contoh 2
:
Jika
diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -3Q2 +
15Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – Q2 + 5Q +10,
tentukanlah persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/kerugian
maksimum/minimum?
Penyelesaian
:
Diketahui
: R = -3Q2 + 15Q C = – Q2 + 5Q
+10
Ditanya :
Pers. π....?
πmax/min....?
Formula
:
π =
R - C → π
= -3Q2 + 15Q – (– Q2 + 5Q +10)
π = -3Q2 + Q2 + 15Q - 5Q
-10
π = -2Q2 + 10Q -10
Diperoleh
a = -2, b = 10 dan c = -10
Karena a
< 0 maka keuntungan maksimum
Besarnya
keuntungan (π) dapat dicari dengan menggunakan rumus :
k
= -(b2 - 4ac)
4a
Atau k = -b2 + 4ac
4a
k = -(10)2 +
4(-2)(-10)
4(-2)
k = -100 + 80
-8
k = -20
-8
k = 2,5
Jadi,
keuntungan maksimum (πmax) adalah Rp. 2,5
0 komentar: