INTEGRAL DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI
A. Integral Taktentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti mencari integral
atau turunan antinya, yaitu F(x). Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) dx = F(x) + k
Di mana : ∫ : tanda integral
F(x) : integral particular
f(x) dx : diferensial dari F(x)
k :
konstanta pengintegralan
F(x) + k : fungsi asli/fungsi asal
Contoh
:
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5 fungsi turunannya
adalah f(x) = d F(x) = 2x.
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan
f(x) diintegralkan, maka :
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k.
Notes : Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam
mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Artinya
nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan
tertentu kecuali jika di dalam soal sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena
ketidaktentuan nilai konstanta itulah bentuk integral yang merupakan kebalikan
dari diferensial dinamakan integral taktentu.
1) Kaidah Integral Taktentu
Integral pangkat
∫ xn dx = xn+1
+ k n ≠ -1
n + 1
contoh:
∫ 4 dx = 4x0+1
+ k = 4x + k
0 + 1
2) Penerapan dalam Ekonomi
Integral Taktentu dalam ekonomi dapat diaplikasikan untuk membuat
fungsi total dari suatu fungsi marginal; seperti fungsi biaya dan penerimaan
total, fungsi utilitas total serta fungsi produksi total.
Contoh
:
1.
Biaya marjinal suatu perusahaan
ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya totalnya! Jika
diketahui biaya tetapnya Rp. 4, tentukanlah besarnya biaya totalnya!
Diketahui : MC = 3Q2 - 6Q + 4 FC = k = 4
Ditanya : pers. C.…? C jika k =
4....?
Penyelesaian:
C = f(Q) → MC = C′
Biaya total → C = ∫ MC dQ = ∫ f′ (Q) dQ
adalah
integrasi
C = ∫ MCdQ
dari biaya
marginal =
∫ (3Q2 - 6Q + 4) dQ
= 3 Q2+1 – 6 Q1+1 + 4 Q0+1
2+1 1+1 0+1
= 3 Q3 – 6 Q2
+ 4 Q1
3 2 1
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Jika k = 4 → C = Q3 - 3Q2
+ 4Q + k
C = Q3 - 3Q2 +
4Q + 4
2.
Carilah persamaan penerimaan
total dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q!
Diketahui
: MR = 16 – 4Q
Ditanya : pers. R….?
Penyelesaian:
R =
f(Q) → MR = R′
Penerimaan
total → R = ∫ MR dQ = ∫ f′ (Q) dQ
adalah integral
dari
R = ∫ MR dQ
penerimaan
marjinal = ∫
(16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Notes : Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab
penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
3.
Carilah persamaan utilitas
total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q!
Diketahui : MU = 90 – 10Q
Ditanya : pers. U….?
Penyelesaian:
U = f(Q) → MU
= U′
Utilitas
total → U = ∫ MU dQ = f′ (Q) dQ
adalah integral
dari U = ∫ MU dQ
utilitas
marjinal U = ∫ (90 – 10Q) dQ
U = 90Q – 5Q2
Notes : Dalam persamaan utilitas
total konstanta k = 0, sebab kepuasan konsumen tidak akan ada jika tak ada
barang yang dikonsumsi
4.
Produk marjinal sebuah
perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaan produk totalnya!
Diketahui :
MP = 18x – 3x2
Ditanya : pers. P….?
Penyelesaian :
P = f(x) di
mana : P : hasil produksi, x : faktor produksi
→ MP = P′
Produk total P = ∫ MPdX = ∫ f′ (x) dX
adalah integral
dari P = ∫ MPdX
produk
marjinal P = ∫ (18x – 3x2 ) dX
P = 9x2 – x3
B. Integral Tertentu
Adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya
(memiliki batas-batas) tertentu. Integral jenis ini digunakan untuk menghitung
luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu-horizontal (x),
dalam suatu rentang wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x = b. Bentuk umumnya
:
b b
∫ f(x)dx =
[ F(x) ] =
F(b) - F(a)
a
a
di
mana : a (batas-atas integrasi) a < b – a (batas-bawah integrasi)
contoh
:
5 5 5
∫ x4
dx =
[ x4+1 ] =
1[x5] = 1 ( 55 – 25) = 1 (
3125 – 32)
2 4 + 1 2 5
2 5 5
= 618,6
Penerapan dalam Ekonomi
a. Surplus Konsumen
Mencerminkan suatu keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati
konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Dalam
grafik, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva
permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar. Bentuk umum surplus konsumen:
Qe
P
Cs = ∫
f(Q) dQ – Qe Pe atau ∫
f(P) dP
0
Pe
b. Surplus Produsen
Mencerminkan
suatu keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati produsen tertentu berkenaan
dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan. Dalam grafik, besarnya
surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di
bawah tingkat harga pasar. Bentuk umum surplus produsen:
Qe P e
Ps = Qe Pe – ∫
f(Q) dQ atau ∫
f(P) dP
0 P
Contoh:
Fungsi
penawaran dan permintaan suatu barang di pasar masing-masing dinyatakan dalam
persamaan Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah surplus konsumen dan
produsen!
Diketahui :
Permintaan : Q = 60 – 4P → P = 15 – 0,25Q
Penawaran : Q = -30 + → P = 6 + 0,2Q
Ditanya : Cs….? Ps….?
Penyelesaian
:
Formula keseimbangan :
Qd = Qs
60 – 4P = -30 + 5P
5P + 4P = 60 + 30
9P
= 90
P
= 10 ………………. (P = Pe)
P = 10 →
Q = 60 – 4P → Q = 60 – 4(10)
Q = 60 – 40 = 20 ……(Q = Qe)
Jadi,
Qe = 20 dan Pe = 10
*Surplus
Konsumen
Cara I:
Qe
Cs = ∫ f(Q) dQ – Qe Pe
0
20
Cs = ∫
(15 – 0,25Q) dQ – (20)(10)
0
20
Cs = [15Q – 0,125Q2] –
200
0
Cs =
((15.20) – 0,125(20)2) – (15.0) – 0,125(0) 2) - 200
Cs =
((300 – 50) – 0) - 200
= 250 – 200 = 50
Cara II:
Q = 60 – 4P
Jika
P = 0 → Q = 60
Jika
Q = 0 → P = 15
………………(P = P)
P
15
Cs = ∫
f(P) dP → Cs =
∫ ( 60 – 4P )dP
Pe
10
15
Cs = [ 60P – 2P2 ] →
Cs = { 60(15) – 2(15)2 } – { 60(10) – 2(10)2 }
10
Cs = ( 900 - 450 ) – ( 600 – 200 )
Cs = 450
– 400
= 50
Jadi, surplus konsumen adalah 50
*Surplus Produsen
Cara I:
Qe
Ps = Qe Pe – ∫
f(Q) dQ
0
Qe
Ps = (20)(10) – ∫
f(6 + 0,2Q) dQ
0
20
Ps = 200 – [6Q + 0,1Q2]
0
Ps = 200 –
((6.20) + (0,1(20)2) – (6.0) + (0,1(0) 2)
Ps = 200 –
((120 + 40) – 0)
= 200 – 160
= 40
Cara II:
Q =
-30 + 5P
Jika
P = 0 → Q
= - 30
Jika
Q = 0 → P = 6
………………(P = P)
Pe
10
Ps = ∫
f(P) dP → Ps =
∫ (-30 + 5P )dP
P 6
10
Ps = [
-30P + 2,5P2 ]
6
Ps =
{ -30(10) + 2,5(10)2 } – { -30(6) + 2,5(6)2 }
Ps =
( -300 + 250 ) – ( -180 + 90 )
Ps =
-50 + 90
= 40
Jadi, surplus produsen adalah 40
